I denna kurs diskuteras först några klassiska lösningsmetoder för första ordningens ekvationer. Därefter studeras linjära ekvationer av högre ordning med konstanta koefficienter, samt system av första ordningen. För linjära ekvationer med variabla koefficienter introduceras potensserielösningar. Den senare delen av kursen ägnas åt allmänna satser om existens och entydighet av lösningar. Dessa satsOrdinary differential equations are one of the most important mathematical tools within the natural sciences. They can be used to describe anything from population dynamics to quantum mechanics. In this course some classical solution methods for first order equations will first be discussed. After this, linear equations of higher order with constant coefficients and first order systems will be stu

Kursen behandlar variationsproblem utan och med bivillkor, Eulers ekvationer utan och med bivillkor, Legendres, Jacobis och Weierstrass nödvändiga villkor för lokalt minimum, Hilberts invarianta integral och Weierstrass tillräckliga villkor för starkt lokalt minimum, Hamiltons princip och Hamiltons ekvationer, Lagranges och Mayers problem.The course treats variational problems with and without constraints, Euler equations with and without constraints, Legendre, Jacobi and Weierstrass necessary condition for local minimum, Hilbert invariant integral and Weierstrass sufficient conditions for strong local minimum, Hamilton's principle and Hamilton's equations, Lagrange and Mayer's problems.

Kursen behandlar: kvadratiska former och matrisfaktorisering, konvexitet, separerande plan och Farkas lemma, teori för optimering med och utan bivillkor, Lagrange-funktioner, Karush-Kuhn-Tucker-teori, dualitet, introduktion till metoder för optimering utan bivillkor såsom linjesökning, descentmetoder, Newton-metoder, konjugerade riktningar, olinjär minsta kvadrat-optimering, Nelder-Meads sökmetod The course treats: quadratic forms and matrix factorisation, convexity, separating planes and Farkas’ Lemma, the theory of optimization with and without constraints, Lagrange functions, Karush-Kuhn-Tucker theory, duality, methods for optimization without constraints such as line search, steepest descent, Newton methods, conjugate directions, non-linear least squares optimization, the Nelder-Mead s

Kursen behandlar stokastiska processer i diskret och kontinuerlig tid. De huvudsakliga momenten i kursen är: Modeller för statistiskt beroende. Begrepp för beskrivning av stationära stokastiska processer i tidsplanet: väntevärden, kovarians- och korskovariansfunktion. Begrepp för beskrivning av stationära stokastiska processer i frekvensplanet: effektspektrum, korsspektrum. Speciella processer: nThe course treats stochastic processes in discrete and continuous time. The main elements are: Models for stochastic dependence.Concepts of description of stationary stochastic processes in the time domain: expectation, covariance, and cross-covariance functions. Concepts of description of stationary stochastic processes in the frequency domain: effect spectrum, cross spectrum. Special processes:

Kursen behandlar: Elementär logik och mängdlära Grundläggande egenskaper hos de naturliga talen och heltalen: induktion, delbarhet, Euklides algoritm Grundläggande egenskaper hos polynom: delbarhet, Euklides algoritm Komplexa tal Lineära ekvationssystem, Gausselimination Vektorer i två och tre dimensioner, baser och koordinater, lineärt beroende, ekvationer för linjer och plan SkalThe course treats: Elementary logic and set theory Basic properties of the natural numbers and the integers: induction, divisibility, Euclid’s algorithm Basic properties of polynomials: divisibility, Euclid’s algorithm Complex numbers Linear systems of equations, Gaussian elimination Vectors in two and three dimensions, bases and coordinates, linear dependence, equations of lines and

Kursen behandlar: Lineära rum och avbildningar, matrisframställning av lineära avbildningar. Euklidiska rum. Determinanter. Egenvärden och egenvektorer. Spektralsatsen. Andragradsytor och kvadratiska former. The course treats: Linear spaces and transformations, matrix representation of linear mappings. Euclidean spaces. Determinants. Eigenvalues ​​and eigenvectors. Spectral Theorem. Quadratic surfaces and quadratic forms.

Kursens syfte är att ge nödvändiga kunskaper i digital bildanalys för fortsatt forskning inom området samt för att kunna använda digital bildanalys inom andra forskningsområden, till exempel datorgrafik, bildkodning, videokodning och industriella bildbehandlingsproblem. Syftet är också att förbereda studenten för fortsatta studier i t ex datorseende, multispektral bildanalys och statistisk bildanaThe aim of the course is to give necessary knowledge of digital image analysis for further research within the area and to be able to use digital image analysis within other research areas such as computer graphics, image coding, video coding and industrial image processing problems. The aim is also to prepare the student for further studies in e.g. computer vision, multispectral image analysis an

Kursen behandlar: metriska och topologiska rum med exempel, produkttopologier, kontinuitet, sammanhängande topologiska rum, fullständighet och kompakthet, inklusive Arzela-Ascolis sats, exempel på tillämpningar och topologiska strukturer, exempel på metriska och topologiska rum med relevans för andra områden, såsom normerade rum och Hilbertrum.The course treats: topological spaces and metric spaces with examples, product topologies, continuity of functions, connectedness, completeness, and compactness, including the Arzela-Ascoli Theorem, examples of applications and topological structures, examples of metric and topological spaces relevant in other areas of mathematics, such as normed spaces and Hilbert spaces.

Kursen behandlar: Grupprepresentationer: linjära representationer, ekvivalenta representationer, regulära representationer, inducerade och begränsade representationer, irreducibla representationer, Maschkes sats, dualrepresentationer och tensorprodukt av representationer. Karaktärteori: karaktärer av representationer, inducerade karaktärer, irreducerbara karaktärer, ortogonalitetsrelationer,The course treats: Group representations: linear representations, equivalent representations, regular representation, induced and restricted representations, irreducible representations, Maschke’s Theorem, dual representations and tensor product of representations. Character theory: characters of representations, induced characters, irreducible characters, orthogonality relations, integralit

Examensarbetet kräver en litteraturgenomgång och specialstudier. Dessutom ingår det ett antal obligatoriska moment, i form av lektioner och seminarier, som behandlar bland annat vetenskapligt skrivande på engelska och svenska, populärvetenskapligt skrivande, akademisk hederlighet och användande av biblioteksresurser. Examensarbetets innehåll och utförande planeras i samråd med en handledare. ExameThe degree project requires a literature review and special studies. In addition, it includes a number of compulsory elements, in the form of lessons and seminars, which deal with, among other things, scientific writing in English and Swedish, popular science writing, academic conduct and the use of library resources. The content and execution of the degree project are planned in consultation with

Kursen behandlar inledande teori för analytiska funktioner, Cauchys integralsats och serieutveckling, argumentprincipen, residykalkyl, Möbiusavbildningar, normala familjer, Riemanns avbildningssats, Poissonintegraler och harmoniska funktioner samt faktorisering.The course comprises introductory theory of analytic functions, Cauchy's integral theorem, power series representation, the argument principle, calculus of residues, Möbius transformations, normal families, Riemann mapping theorem, Poisson integrals and harmonic functions, factorisation.

Kursen behandlar: Exempel på matematiska modeller och modelleringsprocessens olika steg: problemformulering, analys, beräkningar, simulering och återkoppling. Optimeringsproblem med bivillkor, lineära optimeringsproblem. Dynamiska system med diskret tid och dynamiska system av differentialekvationer. Analys av dynamiska system med hjälp av fasporträtt och egenvärden. Simulering av dynaThe course treats: Examples of mathematical models and the modeling process in its various stages: problem formulation, analysis, calculations, simulations and feedback. Optimization problems with constraints, linear optimization problems. Dynamical systems with discrete time and dynamic systems of differential equations. Analysis of the dynamic system by using the phase portraits and ei

Kursen behandlar multiplikativa talteoretiska funktioner, Möbius inversionsformel, egenskaper hos Eulers phi-funktion, primitiva rötter och index, kvadtratiska rester, Legendresymbolen och dess egenskaper, kvadratiska reciprocitetssatsen, framställningar av heltal som summor av kvadrater, talteoretiska egenskaper i Fibonacciföljden, kedjebråksutvecklingar, diofantisk approximation.  The course treats multiplicative number theoretic functions, Möbius inversion formula, properties of Euler's totient function, primitive roots and indices, quadratic residues, the Legendre symbol and it's properties, the quadratic reciprocity theorem, representations of integers as sums of squares, number theoretic properties of the Fibonacci sequence, continued fractions, Diophantine approximatio

Kursen behandlar: Fourierserier, Fouriertransformen och den ändliga Fouriertransformen, L^2-konvergens av Fourierserier, punktvis konvergens, Cesàro-medelvärden och Fejers sats, Weyls kriterium, Fouriers inversionssats, Parsevals och Plancherels satser, Poissons summationformel och Heisenbergs olikhet, exempel på tillämpningar inom fysik och inom andra områden inom matematiken, såsom dynamiska sysThe course treats: Fourier series, Fourier transform and finite Fourier transform, L^2 convergence of Fourier series, pointwise convergence, Cesàro means and Fejer’s theorem, Weyl’s criterion, the Fourier inversion theorem, Parseval’s and Plancherel’s theorem, Poisson summation formula, and the Heisenberg inequality, examples of applications in physics and in other areas of mathematics, such as dy

Kursens behandlar mått definierade på en sigma-algebra, konstruktion av mått med hjälp av yttre mått, i synnerhet Lebesgue-måttet på Rd. Dessa begrepp används sedan för att definiera integralen av en mätbar funktion med avseende på ett visst mått och studera dess egenskaper. Fokus ligger på konvergensteorem, det vill säga omkastning av gränsvärdesövergång och integration, samt upprepad integrationThis course treats the general notion of a measure defined on a sigma-algebra, construction of measures with help of outer measures, in particular the Lebesgue measure in Rd. These concepts are then used to define the integral of a measurable function with respect to a given measure and study its properties. The focus is on convergence theorems, that is, interchanging limits and integrals, as well

Centrala moment i kursen är existens- och entydighetssatser om mått definierade på sigma-fält, integrationsteori, betingade väntevärden och svag konvergens på metriska rum.A central part of the course is existence- and uniqueness theorems about measures defined on sigma-algebras, integration theory, conditional expectation and weak convergence in metric spaces.

 Kursen behandlar kurvors och ytors geometri, företrädesvis i tre dimensioner. Speciellt studeras begrepp som krökning och torsion. Kursen behandlar: Geometrin hos kurvor i euklidiska rum, deras krökning och torsion och hur dessa bestämmer kurvorna. Geometrin hos ytor i euklidiska rum, deras första och andra fundamentalform, Gaussavbildningen, principalkrökningar, Gausskrökning och medeThe course treats the geometry of curves and surfaces, especially in three dimensions. In particular, we study the concepts of curvature and torsion. The course covers: The geometry of curves in Euclidean space, their curvature and torsion and how these determine the curves. The geometry of surfaces in Euclidean space, their first and second fundamental forms, the Gauss map, principal curvat

Kursen behandlar: randvärdesproblem; Sturm-Liouville-teori och egenfunktionsutvecklingar; autonoma system; fasporträtt; stabilitetsteori; periodiska lösningar; kaos.The course treats: boundary value problems; Sturm-Liouville theory and eigenfunction expansions; autonomous systems; phase portraits; stability theory; periodic solutions; chaos.

Kursen behandlar: Kroppsutvidgningar: splittringskroppar, normala utvidgningar och separabla utvidgningar, kroppsautomorfismer, normala höljen. Galoisgrupper: Galoisutvidgningar, Galoiskorrespondens, Galoisteorins fundamentalsats. Polynomekvationer: lösbarhet med rotutdragningar, olösbara femtegradsekvationer, symmetriska polynom, cyklotomiska utvidgningar. The course treats: Field extensions: splitting fields, normal extensions and separable extensions, field automorphisms, normal closures. Galois groups: Galois extensions, the Galois Correspondence, the Fundamental Theorem of Galois Theory. Polynomial equations: solvability by radicals, insolvable quintics, symmetric polynomials, cyclotomic extension.

Kursen behandlar Differentierbara mångfalder, deras tangentrum och tangentknippen. Riemannska metriker och deras unika Levi-Civita-förbindelse. Geodeter och den viktiga Riemannska krökningsten sorn samt dess betydelse för den lokala geometrin. The course covers: Differentiable manifolds, their tangent spaces and tangent bundles. Riemannian metrics and their unique Levi-Civita connection. Geodesics and the important Riemann curvature tensor and its influence on the local geometry.