Kursen behandlar: Elementär logik och mängdlära Grundläggande egenskaper hos de naturliga talen och heltalen: induktion, delbarhet, Euklides algoritm Grundläggande egenskaper hos polynom: delbarhet, Euklides algoritm Komplexa tal Lineära ekvationssystem, Gausselimination Vektorer i två och tre dimensioner, baser och koordinater, lineärt beroende, ekvationer för linjer och plan SkalThe course treats: Elementary logic and set theory Basic properties of the natural numbers and the integers: induction, divisibility, Euclid’s algorithm Basic properties of polynomials: divisibility, Euclid’s algorithm Complex numbers Linear systems of equations, Gaussian elimination Vectors in two and three dimensions, bases and coordinates, linear dependence, equations of lines and

Kursen behandlar Funktioner av flera variabler, grundläggande topologi i R^n. Kontinuitet, satser om kontinuerliga funktioner av flera variabler. Differentierbara funktioner, gradienter och riktningsderivator. Extremvärden och optimering. Taylor´s formel.  Multipelintegraler, generaliserade integraler, ytintegraler. Variabelbyte. The course treats: Functions of several variables, basic topology in R^n. Continuity, theorems about continuous functions. Differentiable functions, gradients and directional derivatives. Taylor's formula. Extreme values and optimization. Multiple integrals, improper integrals, change of variables.

Variabelsubstitution, inversa och implicita funktioner, kurv- och ytintegraler samt grundläggande satser som Greens formel, Gauss divergenssats, Stokes sats behandlas.Variable substitution, inverse and implicit functions, curve and surface integrals, Green's formula, Gauss Divergence Theorem, Stokes Theorem are treated.

Kursen behandlar: Numeriska serier, konvergenskriterier  Funktionsserier, såsom potensserier och Fourierserier, absolut och likformig konvergens, punktvis konvergens Viktiga satser om Fourierserier, såsom Parsevals formel, Bessels olikhet, konvergenssatser Cosinus- och sinusserier Tillämpningar inom klassiska partiella differentialekvationer Fouriertransformen, teori oThe course covers the following topics: Numerical series, Convergence criteria Function series, such as power series and Fourier series, absolute and uniform convergence, pointwise convergence Theorems on Fourier series, such as Parseval formula, Bessel's inequality, convergence theorems Cosine and sine series Applications in classical partial differential equations The Fourier trans

Kursen behandlar:   Matriser: matrisoperationer, matrisinvers, matrisrang Determinanter: definition och egenskaper Lineära rum: underrum, lineärt hölje, lineärt beroende/oberoende, bas, dimension Euklidiska rum: skalärprodukt, Cauchy-Schwarz olikhet, ortogonalitet, ortonormerade baser, ortogonalisering, ortogonala matriser, ortogonal projektion, ortogonalt komplement, minsta kvadratmetodThe course treats Matrices: matrix operations, matrix inverse, matrix rank Determinants: definition and properties Linear spaces: subspace, span, linear dependence/independence, basis, dimension Euclidean spaces: scalar product, Cauchy-Schwarz inequality, orthogonality, orthonormal bases, orthogonalisation, orthogonal matrices, orthogonal projection, orthogonal complement, least squares metho

Kursen behandlar: Egenskaper hos de reella talen R: fullständighetsaxiomet, Cauchy-följder, kardinalitet av rationella och irrationella tal. Topologi i R^n: öppna och slutna mängder, p-normer, konvergens, kompakthet och Bolzano-Weierstrass sats, sammanhängande mängder. Kontinuerliga funktioner i R^n: satsen om mellanliggande värden, satsen om största och minsta värde, likformig kontinuitet, koThe course treats: Properties of the real numbers R: completeness axiom, Cauchy sequences, cardinality of rational and irrational numbers. Topology in Rn: open and closed sets, p-norms, convergence, compactness and the Bolzano-Weierstrass theorem, connected sets. Continuous functions in Rn: intermediate value theorem, min-max theorem, uniform continuity, continuity of inverse functions, implic

Kursen behandlar: Grundläggande egenskaper hos Fourierserier av funktioner i en variabel. Exponentialform och trigonometrisk form. Riemann-Lebesgues lemma. Elementära villkor för punktvis och likformig konvergens. Gibbs fenomen. Grundläggande egenskaper hos faltningar av periodiska funktioner i en variabel. Samspelet med Fourierserier. Faltningskärnor och deras tillämpningar vid summering av FoThe course treats: Basic properties of Fourier series of functions in one variable. Exponential form and trigonometric form. Riemann-Lebesgue lemma. Elementary conditions for pointwise and uniform convergence. Gibbs phenomenon. Basic properties of convolutions of periodic functions in one variable. Interaction with Fourier series. Convolution kernels and their applications in summing Fourier se

Kursen behandlar: Talteori: delbarhet, primtal, Euklides algoritm, kinesiska restsatsen, modulär aritmetik Mängder, funktioner och relationer, ekvivalensrelationer. Kombinatorik: de fyra fallen dragning med/utan återläggning, med/utan hänsyn till ordning, binomialkoefficienter, principen om inklusion och exklusion, metoden med genererande funktion Rekursion: rekursionsformler och differensekvThe course treats: Number theory: divisibility, prime numbers, the Euclidean algorithm, Chinese remainder theorem, modular arithmetic Sets, functions and relations, equivalence relations Combinatorics: the four cases of counting with or without repetition and with or without regard to order, binomial coefficients, the principle of inclusion and exclusion, the method of generating functions Re

Kursens syfte är att ge nödvändiga kunskaper i digital bildanalys för fortsatt forskning inom området samt för att kunna använda digital bildanalys inom andra forskningsområden, till exempel datorgrafik, bildkodning, videokodning och industriella bildbehandlingsproblem. Syftet är också att förbereda studenten för fortsatta studier i t ex datorseende, multispektral bildanalys och statistisk bildanaThe aim of the course is to give necessary knowledge of digital image analysis for further research within the area and to be able to use digital image analysis within other research areas such as computer graphics, image coding, video coding and industrial image processing problems. The aim is also to prepare the student for further studies in e.g. computer vision, multispectral image analysis an

Kursen behandlar grundläggande teori för analytiska funktioner: Elementära egenskaper hos analytiska funktioner i en variabel. Komplex differentierbarhet och Cauchy-Riemanns ekvationer. Räkneregler. Elementära exempel på analytiska funktioner: potensserieutvecklingar, exponentialfunktioner, grenar av logaritmer samt av dessa genom räkneregler definierade funktioner. Kurvintegraler i det komplexThe course treats basic theory of analytic functions: Elementary properties of analytic functions in one variable. Complex differentiability and Cauchy-Riemann equations. Calculation rules. Elementary examples of analytic functions: power series expansions, exponential functions, branches of logarithms, and functions defined by these calculation rules. Contour integrals in the complex plane. Ca

Kursen behandlar: Existens och entydighet av lösningar till begynnelsevärdesproblem för system av ordinära differentialekvationer. Approximation av lösningar och kontinuerligt beroende på parametrar. Lineära system med variabla och konstanta koefficienter. Fundamentalmatriser och matrisexponentialfunktionen. Autonoma system. Fasporträtt. Stabilitetsteori. Periodiska lösningar. Tillämpningar The course treats: Existence and uniqueness of solutions to initial value problems for systems of ordinary differential equations. Approximation of solutions and continuous dependence on parameters. Linear systems with variable and constant coefficients. Fundamental matrices and the matrix exponential function. Autonomous systems. Phase portraits. Stability theory. Periodic solutions. Applic

Kursen behandlar variationsproblem utan och med bivillkor, Eulers ekvationer utan och med bivillkor, Legendres, Jacobis och Weierstrass nödvändiga villkor för lokalt minimum, Hilberts invarianta integral och Weierstrass tillräckliga villkor för starkt lokalt minimum, Hamiltons princip och Hamiltons ekvationer, Lagranges och Mayers problem.The course treats variational problems with and without constraints, Euler equations with and without constraints, Legendre, Jacobi and Weierstrass necessary condition for local minimum, Hilbert invariant integral and Weierstrass sufficient conditions for strong local minimum, Hamilton's principle and Hamilton's equations, Lagrange and Mayer's problems.

Kursen behandlar: Talteori: aritmetikens fundamentalssats, kongruensräkning. Grupper: definition, grundläggande exempel på grupper, undergrupper, normala undergrupper, faktorgrupper, isomorfier och homomorfier, Lagranges sats, permutationsgrupper, symmetriska och alternerande grupper, ändligt genererade abelska grupper. Ringar: definition, grundläggande exempel på ringar, isomorfier och homomoThe course treats: Number theory: the fundamental theorem of arithmetic, modular artithmetic. Groups: definition, basic examples of groups, subgroups, normal subgroups, factor groups, isomorphisms and homomorphisms, Lagrange's theorem, permutation groups, symmetric and alternating groups, finitely generated Abelian groups. Rings: definition, basic examples of rings, isomorphisms and homomorphi

Kursen behandlar multiplikativa talteoretiska funktioner, Möbius inversionsformel, egenskaper hos Eulers phi-funktion, primitiva rötter och index, kvadtratiska rester, Legendresymbolen och dess egenskaper, kvadratiska reciprocitetssatsen, framställningar av heltal som summor av kvadrater, talteoretiska egenskaper i Fibonacciföljden, kedjebråksutvecklingar, diofantisk approximation.The course treats multiplicative number theoretic functions, Möbius inversion formula, properties of Euler's totient function, primitive roots and indices, quadratic residues, the Legendre symbol and its properties, the quadratic reciprocity theorem, representations of integers as sums of squares, number theoretic properties of the Fibonacci sequence, continued fractions, Diophantine approximation

Kursen behandlar: kvadratiska former och matrisfaktorisering, konvexitet, separerande plan och Farkas lemma, teori för optimering med och utan bivillkor, Lagrange-funktioner, Karush-Kuhn-Tucker-teori, dualitet, introduktion till metoder för optimering utan bivillkor såsom linjesökning, descentmetoder, Newton-metoder, konjugerade riktningar, olinjär minsta kvadrat-optimering, Nelder-Meads sökmetod The course treats: quadratic forms and matrix factorisation, convexity, separating planes and Farkas’ Lemma, the theory of optimization with and without constraints, Lagrange functions, Karush-Kuhn-Tucker theory, duality, methods for optimization without constraints such as line search, steepest descent, Newton methods, conjugate directions, non-linear least squares optimization, the Nelder-Mead s

Kursen behandlar: Matriser och determinanter. Linjära rum. Spektralteori. Jordans normalform. Matrisfaktoriseringar. Matrispolynom och matrisfunktioner.  Normer. Skalärprodukter. Singulära värden. Egenvärden och variationsprinciper. Normala matriser. Kvadratiska och hermiteska former. Minsta kvadrat-metoden och pseudoinverser. Icke-negativa matriser.The course comprises: Matrices and determinants. Linear spaces. Spectral theory.The Jordan normal form. Matrix factorizations. Matrix polynomials and matrix functions. Norms. Scalar products. Singular values. Normal matrices. Quadratic and Hermitian forms. The Least Squares method and pseudo inverses.

Examensarbetet kräver en litteraturgenomgång och specialstudier. Dessutom ingår det ett antal obligatoriska moment, i form av lektioner och seminarier, som behandlar bland annat vetenskapligt skrivande på engelska och svenska, populärvetenskapligt skrivande, akademisk hederlighet och användande avbiblioteksresurser.  Den studerande väljer i samråd med handledare en självständig examensuppgiftThe degree project requires a literature survey and specialised studies. Furthermore, a number of compulsory activities are included, in the form of teaching sessions and seminars that treat e.g. scientific writing in English and Swedish, popular writing, academic conduct and the use of library resources. The student chooses in consultation with supervisors and examiner an independent examination

Examensarbetet kräver en litteraturgenomgång och specialstudier. Dessutom ingår det ett antal obligatoriska moment, i form av lektioner och seminarier, som behandlar bland annat vetenskapligt skrivande på engelska och svenska, populärvetenskapligt skrivande, akademisk hederlighet och användande av biblioteksresurser. Examensarbetets innehåll och utförande planeras i samråd med en handledare. ExameThe degree project requires a literature review and special studies. In addition, it includes a number of compulsory elements, in the form of lessons and seminars, which deal with, among other things, scientific writing in English and Swedish, popular science writing, academic conduct and the use of library resources. The content and execution of the degree project are planned in consultation with

Kursen behandlar: Exempel på matematiska modeller och modelleringsprocessens olika steg: problemformulering, analys, beräkningar, simulering och återkoppling. Optimeringsproblem med bivillkor, lineära optimeringsproblem. Dynamiska system med diskret tid och dynamiska system av differentialekvationer. Analys av dynamiska system med hjälp av fasporträtt och egenvärden. Simulering av dynaThe course treats: Examples of mathematical models and the modeling process in its various stages: problem formulation, analysis, calculations, simulations and feedback. Optimization problems with constraints, linear optimization problems. Dynamical systems with discrete time and dynamic systems of differential equations. Analysis of the dynamic system by using the phase portraits and ei

Centrala moment i kursen är existens- och entydighetssatser om mått definierade på sigma-fält, integrationsteori, betingade väntevärden och svag konvergens på metriska rum.A central part of the course is existence- and uniqueness theorems about measures defined on sigma-algebras, integration theory, conditional expectation and weak convergence in metric spaces.